Вопрос решился на sysadmins.ru.
Надо было сделать перенаправление вывода: &> tar.log
В результате команда в скрипте для правильной работы крона должна выглядеть так:
tar cvpjf /root/backup/$CurDate"_www".tar.bz2 --exclude=/var/www/phpmyadmin /var/www &> tar.log